• Work and kinetic energy of an office of throwing Lavoro ed energia cinetica di una carica di lancio
  
• Ballistic yield (Rb) Rendimento balistico (Rb)
  
• I use the coefficient of ballistic yield Uso del coefficiente di rendimento balistico
• Thermic yield (Rt) Rendimento termico (Rt)
  
• I use the coefficient of thermic yield Uso del coefficiente di rendimento termico
• Calculation examples leaving from Rb and Rt Esempi di calcolo partendo da Rb ed Rt
• Relations of Heydenreich Relazioni di Heydenreich
  
• Tabella_1 Heydenreich coefficients Tabella_1 dei coefficienti di Heydenreich
• Tabella_2 Heydenreich coefficients Tabella_2 dei coefficienti di Heydenreich
• Calculation examples when the tables were using Heydenreich Esempi di calcolo usando le tabelle di Heydenreich
  
• Final considerations and sheet of automatic calculation Considerazioni finali e foglio di calcolo automatico
  

The ballistics is the branch of the mechanical physics that is born for the study of the motion of a "projectile", meant like an inert body subjected to the strength of gravity and to the viscous friction of the fluid in which it moves (we will refer genericamente to projectile, wanting to unify the mathematic models to be followed, it is for weapons to smooth cane that to ruled cane). The ballistics has then differed in several branches of study that maintain the code “ballistic“, in all that you correlate to the fire-arms. La balistica è il ramo della fisica meccanica che nasce per lo studio del moto di un “proietto”, inteso come un corpo inerte sottoposto alla forza di gravità e all’attrito viscoso del fluido in cui si muove (ci riferiremo genericamente a proietto, volendo unificare i modelli matematici a seguire, sia per armi a canna liscia che a canna rigata). La balistica si è poi differenziata in varie branche di studio che mantengono il prefisso “balistica”, in quanto correlate alle armi da fuoco.

The ballistics can be subdivided in four principal branches:La balistica può essere suddivisa in quattro branche principali:

• Internal ballistics: he studies the behaviour of the projectile when he is still inside the gun and subjected to the forces generated by the lighting of the office of throwing.
• Balistica interna: studia il comportamento del proietto quando esso si trova ancora all’interno della bocca da fuoco e sottoposto alle forze generate dall’accensione della carica di lancio.
  
• External ballistics: he studies the parabolic motion of the projectile after he has been fired or thrown.
• Balistica esterna: studia il moto parabolico del proietto dopo che esso è stato sparato o lanciato.
  
• Final ballistics: he studies the reaction of a body that enters into contact with the projectile. In other words he studies the effects caused by the projectile on the struck target.
• Balistica terminale: studia la reazione di un corpo che entra in contatto con il proietto. In altri termini studia gli effetti provocati dal proietto sul bersaglio colpito.
• Intermediate ballistics: he studies the motion of the projectile in the immediate closeness of the living one of flight. She consists in the study of the intermediate phenomena between internal and external ballistics.
• Balistica intermedia: studia il moto del proietto nelle immediate vicinanze del vivo di volata. Essa consiste nello studio dei fenomeni intermedi tra balistica interna ed esterna.
  

Certainly the internal ballistics, like scientific discipline, has been born after the external ballistics: if, in fact, this last one does reference exclusively to the beginnings of the mechanics, why drawn of the behaviour of a mass, that one of the projectile, in the gravitational field (in presence of not simple phenomena which the resistance of the means and the gyroscopic effect), the internal ballistics is based on the study of the combustion of the office of throwing, on the consequent trend pressorio inside the cane of the weapon and on the movement of the projectile inside the same one. Sicuramente la balistica interna, come disciplina scientifica, è nata dopo la balistica esterna: se, infatti, quest’ultima fa riferimento esclusivamente ai principi della meccanica, perché trattasi del comportamento di una massa, quella del proietto, nel campo gravitazionale (in presenza di fenomeni non semplici quali la resistenza del mezzo e l’effetto giroscopico), la balistica interna si incentra sullo studio della combustione della carica di lancio, sul conseguente andamento pressorio all’interno della canna dell’arma e sul movimento del proietto all’interno della stessa.

Work and kinetic energy of an office of throwing (↑) Lavoro ed energia cinetica di una carica di lancio (↑)

We leave then from the second beginning of the dynamics whose typical expression is the next one: Partiamo dunque dal secondo principio della dinamica la cui tipica espressione è la seguente:

(1) (1)

a mass body metre subjected to the strength F, undergoes an acceleration to (a variation of speed) proportional to the applied strength. The strength to which the projectile is subjected to the deflagration of the blow, is not other what the product between the area of his straight section S (for supposed simplicity equal to the straight section of the cane and determined at the calibre of the weapon), multiplied by the middle pressure in cane Pm (forza=pressione x surface), then we will have: un corpo di massa m, sottoposto alla forza F, subisce una accelerazione a (una variazione di velocità) proporzionale alla forza applicata. La forza a cui è sottoposto il proietto alla deflagrazione del colpo, non è altro che il prodotto tra l’area della sua sezione retta S (per semplicità supposta pari alla sezione retta della canna e determinata dal calibro dell’arma), moltiplicata per la pressione media in canna Pm (forza=pressione x superficie), quindi avremo:

(2) (2)

Substituting (2) for the relation (1) we obtain: Sostituendo la (2) alla relazione (1) otteniamo:

(3) (3)

In mechanics the work (L) is defined like the product between the applied strength (F) and the obtained moving (d): In meccanica il lavoro (L) è definito come il prodotto tra la forza applicata (F) e lo spostamento ottenuto (d):

(4) (4)

The projectile in movement, will produce a work equal to the product between the applied strength to him and the sudden moving, moving equal to the length of the cane (lc). For simplicity the necessary fractions of the work will be ignored for: the sbossolamento of the projectile, to win the forcing and the flowing friction in cane, to expel the column of air that occupies the same one. Il proietto in movimento, produrrà un lavoro pari al prodotto tra la forza ad esso applicata e lo spostamento subito, spostamento pari alla lunghezza della canna (lc). Per semplicità verranno trascurate le frazioni del lavoro necessarie per: lo sbossolamento del proietto, vincere il forzamento e l’attrito di scorrimento in canna, espellere la colonna d’aria che occupa la medesima.

We will have in definitive: Avremo in definitiva:

(5) (5)

(when the direction of the strength was coinciding, on the shot, with the moving direction in cane of the projectile). (essendo coincidente, all’atto dello sparo, la direzione della forza con la direzione di spostamento in canna del proietto).

If we substitute to F his value expressed previously in (2), we have: Se sostituiamo ad F il suo valore espresso precedentemente nella (2), abbiamo:

(6) (6)

Then the work of transfer made by an office of throwing depends on three factors that are: Quindi il lavoro di traslazione operato da una carica di lancio dipende da tre fattori che sono:

• Middle pressure in cane Pm
• Pressione media in canna Pm
  
• Area of the straight section of the cane S (or section of the projectile)
• Area della sezione retta della canna S (o sezione del proietto)
  
• Length of the cane lc
• Lunghezza della canna lc

Such an entity of the work is identified by the kinetic energy possessed by the projectile in the moment in which he leaves the living one of flight of the weapon. We know that the kinetic energy Ec is given by the product between mass metre and speed V according to the equation: Tale entità del lavoro si identifica con l’energia cinetica posseduta dal proietto nel momento in cui esso lascia il vivo di volata dell’arma. Sappiamo che l’energia cinetica Ec è data dal prodotto tra massa m e velocità V secondo l’equazione:

(7) (7)

Substituting with the speed V, the speed to the flight V₀ and to the mass metre, the mass of the projectile p and dividing for the gravity acceleration g, we will have the kinetic energy in Chilogrammetri (Kgm): Sostituendo alla velocità V, la velocità alla volata V₀ e alla massa m, la massa del proietto p e dividendo per l’accelerazione di gravità g, avremo l’energia cinetica in Chilogrammetri (Kgm):

(8) (8)

with:con:

• Ec = kinetic Energy
• Ec = Energia cinetica
• p = weight of the projectile
• p = peso del proietto
• V₀² = square of the speed to the flight
• V₀² = quadrato della velocità alla volata
• g = gravity acceleration (equal to 9,81 m/s²)
• g = accelerazione di gravità (pari a 9,81 m/s²)
  

We have said that the work in cane is equal to the kinetic energy of the projectile to the flight then: Abbiamo detto che il lavoro in canna è pari all’energia cinetica del proietto alla volata quindi:

(9) (9)

if now we substitute the relations beforehand determinate, (6) and (8), in (9), we will have: se adesso sostituiamo le relazioni prima determinate, (6) ed (8), nella (9), avremo:

(10) (10)

which, the pressure mediates in cane it becomes: da cui, la pressione media in canna diventa:

(11) (11)

This last formula then, it lets us calculate the value of the middle pressure in cane (in atm) knowing: Quest’ultima formula quindi, ci permette di calcolare il valore della pressione media in canna (in atm) conoscendo:

• p = weight of the projectile
• p = peso del proietto
• V₀² = square of the initial speed
• V₀² = quadrato della velocità iniziale
  
• g = 9,81 m/s² (acceleration of gravity)
• g = 9,81 m/s² (accelerazione di gravità)
• S = straight section of the cane
• S = sezione retta della canna
  
• lc = length of the cane
• lc = lunghezza della canna
  

For exactitude, lc the length of the cane is not peculiar, but it represents the run in cane made at the projectile, then we will have: Per esattezza, lc non è proprio la lunghezza della canna, ma rappresenta il percorso in canna effettuato dal proietto, quindi avremo:

lc = (length cane) – (height case) (I project sinking in the case) lc=(lunghezza canna)–(altezza bossolo) (affondamento proietto nel bossolo)

At this point, we introduce a correction element on the weight of the projectile because it is necessary to him to add also the weight of the half of the office of throwing. In the energy budget in fact, we will have to consider not only the energy impressed to the projectile (bullet or borra pallini) but also the kinetic energy assumed by the gases of deflagration. Their total mass, in the hypothesis of null interaction with the air, it can be considered a draw to that one of the propellent dust contained in the cartridge (chemical law of Lavoisier about the conservation of the mass). The speed of such gases is null in correspondence of the bottom of the case (breech of the weapon) and it decorates with the speed of the bullet an instant before he leaves the flight living one. To simplify, we will consider then on average that the mass of the gases in movement towards the mouth of the cane, should be equivalent in the half of the mass of the propellent dust contained inside the cartridge. Or analogously, that the energy impressed to the propellant, is relative to the half of his mass. With such a correction the relation (11) becomes: A questo punto, introduciamo un elemento di correzione sul peso del proietto perchè ad esso bisogna aggiungere anche il peso della metà della carica di lancio. Nel bilancio energetico infatti, dovremo considerare non solo l’energia impressa al proietto (proiettile o borra pallini) ma anche l’energia cinetica assunta dai gas di deflagrazione. La loro massa totale, nell’ipotesi di interazione nulla con l’aria, può essere considerata pari a quella della polvere propellente contenuta nella cartuccia (legge chimica di Lavoisier sulla conservazione della massa). La velocità di tali gas è nulla in corrispondenza del fondello del bossolo (culatta dell’arma) e pari alla velocità del proiettile un istante prima che esso lasci il vivo di volata. Per semplificare, considereremo quindi mediamente che la massa dei gas in movimento verso la bocca della canna, sia equivalente alla metà della massa della polvere propellente contenuta all’interno della cartuccia. O analogamente, che l’energia impressa al propellente, sia relativa alla metà della sua massa. Con tale correzione la relazione (11) diventa:

(12) (12)

where: dove:

• p_p/2 = weight of the half of the office of throwing
• p_p/2 = peso della metà della carica di lancio
  

Ballistic yield (↑) Rendimento balistico (↑)

In the normal conditions of loading, that is with fit weights of the projectile and adequate orders of loading (trigger and doses) in each dust the report between middle pressure (Pm) and maximum pressure (Pmax) is a characteristic value named “Ballistic yield”, he varies to the change of the weight of the projectile. The definition we will have: Nelle normali condizioni di caricamento, cioè con pesi del proietto idonei e assetti di caricamento adeguati (innesco e dosi) in ciascuna polvere il rapporto tra pressione media (Pm) e pressione massima (Pmax) è un valore caratteristico denominato “Rendimento balistico”, esso varia al mutamento del peso del proietto. Dalla definizione avremo:

(13) (13)

which:da cui:

(14) (14)

but, (12), Pm we have seen equal being to: ma, dalla (12), Pm abbiamo visto essere uguale a:

(12) (12)

therefore, substituting on (14 (12), we obtain: per cui, sostituendo sulla (14) la (12), otteniamo:

(15) (15)

We define now the unities of measure: Definiamo ora le unità di misura :

• p = weight of the projectile in Kg
• p = peso del proietto in Kg
  
• p_p = weight of the dust Kg
• p_p = peso della polvere Kg
  
• V₀ = initial speed of the projectile in m/sec
• V₀ = velocità iniziale del proietto in m/sec
  
• g = 9,81 m/s² (acceleration of gravity)
• g = 9,81 m/s² (accelerazione di gravità )
  
• S = area of the straight section of the cane in cmq
• S = area della sezione retta della canna in cmq
  
• lc = length of the real run of the projectile in metre
• lc = lunghezza dell’effettivo percorso del proietto in m
  
• Rb = ballistic coefficient of the used dust, characteristic for each type of dust in relation to the weight of the projectile.
• Rb = coefficiente balistico della polvere utilizzata, caratteristico per ogni tipo di polvere in relazione al peso del proietto.
  

So we will have the value of the Pmax in kg/cmq (atm) Così avremo il valore della Pmax in kg/cmq (atm)

If we want to obtain the values in bar it is sufficient to insert into the calculation the relative conversion coefficient. We will have to multiply (15) for 0,981, or rather for g/10. We will have in bar: Se vogliamo ottenere i valori in bar è sufficiente inserire nel calcolo il coefficiente di conversione relativo. Dovremo moltiplicare la (15) per 0,981, ossia per g/10. Avremo in bar:

(16) (16)

Simplifying for g be to the numberer to which to the denominator, we obtain: Semplificando per g sia al numeratore che al denominatore, otteniamo:

(17) (17)

Expressing the section in mmq instead of what cmq as in (16) we will have at last: Esprimendo la sezione in mmq invece che cmq come nella (16) avremo infine:

(18) (18)

where we will be able to consider: dove potremo considerare:

• p = weight of the projectile in g
• p = peso del proietto in g
  
• p_p = weight of the dust g
• p_p = peso della polvere g
  
• V₀ = initial speed of the projectile in m/sec
• V₀ = velocità iniziale del proietto in m/sec
  
• g = 9,81 m/s² (acceleration of gravity)
• g = 9,81 m/s² (accelerazione di gravità )
  
• S = area of the straight section of the cane in mmq
• S = area della sezione retta della canna in mmq
  
• lc = length of the real run of the projectile in mm
• lc = lunghezza dell’effettivo percorso del proietto in mm
  
• Rb = ballistic coefficient of the used dust, characteristic for each type of dust in relation to the weight of the projectile.
• Rb = coefficiente balistico della polvere utilizzata, caratteristico per ogni tipo di polvere in relazione al peso del proietto.
  

Pmax will turn out to be expressed in bar (he notices: if p and p_p are expressed by them in grammes, lc must be expressed by it in millimetres; if p and p_p are expressed by them in kilogrammes, lc must be expressed by it in metres). Pmax risulterà espressa in bar (nota: se p e p_p vengono espressi in grammi, lc deve essere espressa in millimetri; se p e p_p vengono espressi in chili, lc deve essere espressa in metri).

I use the coefficient of ballistic yield (↑) Uso del coefficiente di rendimento balistico (↑)

For the test of our reloadings there is quite simple to be provided with a reliable chronographer but, not with a cane manometrica, we will be able to notice then only the speed to the mouth of the office (V₀) while we are never able to know the Pmax of exercise of the munitions. The relation (18) is extremely useful to give us an estimate of the pressure in cane (under the statistical outline) leaving from the alone chronographic datum. Per il test delle nostre ricariche è abbastanza semplice dotarsi di un cronografo attendibile ma, non di una canna manometrica, potremo quindi rilevare solo la velocità alla bocca della carica (V₀) mentre non potremo mai conoscere la Pmax di esercizio delle munizioni. La relazione (18) è estremamente utile per darci una stima della pressione in canna (sotto il profilo statistico) partendo dal solo dato cronografico.

(18) (18)

Thermic yield (↑) Rendimento termico (↑)

To supplement the preceding formulas, we must express a further concept, that of thermic yield. He lets establish the dose of dust necessary for a projectile of a determinate "weight" that we want to throw with a determinate speed. The thermic yield Rt is defined like the existing report between: useful work L (equal to the kinetic energy of the projectile) and the thermic energy Lt produced by the office of dust. Varied Rt to the change of the weight of the projectile and to the order of the cartridge. Ad integrare le formule precedenti, dobbiamo esprimere un ulteriore concetto, quello di rendimento termico. Esso permette di stabilire la dose di polvere occorrente per un proietto di un determinato “peso” che vogliamo lanciare ad una determinata velocità. Il rendimento termico Rt è definito come il rapporto esistente tra: lavoro utile L (pari all’energia cinetica del proietto) e l’energia termica Lt prodotta dalla carica di polvere. Rt varia al mutamento del peso del proietto e all’assetto della cartuccia.

The thermic energy Lt is constituted by the product of three factors: L’energia termica Lt è costituita dal prodotto di tre fattori:

• p_p = weight of the office of dust
• p_p = peso della carica di polvere
  
• pc = Calorific value of the dust
• pc = Potere calorifico della polvere
  
• j = mechanical equivalent of the heat
• j = equivalente meccanico del calore
  

The calorific value (pc) of a dust, it indicates the calories produced by the combustion of one gramme of propellant, is measured in calories / gramme (cal/g). The mechanical equivalent of the work (j) is a factor of conversion of thermic unities in mechanical unities equal to 0,427 (for rounding off in excess of 0,4267). We can write then (it espresso in Kgm): Il potere calorifico (pc) di una polvere, indica le calorie prodotte dalla combustione di un grammo di propellente, si misura in calorie/grammo (cal/g). L’equivalente meccanico del lavoro (j) è un fattore di conversione di unità termiche in unità meccaniche pari a 0,427 (per arrotondamento in eccesso di 0,4267). Possiamo quindi scrivere (espresso in Kgm):

(19) (19)

The definition:Dalla definizione:

(20) (20)

but, expressing the work L like the kinetic energy Ec of the relation (8): ma, esprimendo il lavoro L come l’energia cinetica Ec della relazione (8):

(8) (8)

and using the relation (19), substituting in (20) we will have: ed usando la relazione (19), sostituendo nella (20) avremo:

(21) (21)

If now we solve the equation compared to p_p that is the weight of the dose of dust to be known, we will have: Se adesso risolviamo l’equazione rispetto a p_p che è il peso della dose di polvere da conoscere, avremo:

(22) (22)

(p of the last formula more half corresponds to the weight of the projectile of loaded with dust that in this case it is possible to omit respecting p ≅ p_p p) (p dell’ultima formula corrisponde al peso del proietto più metà della carica di polvere che in questo caso si può omettere stimando p≅ p_p p)

The sizes considered in the relation will be then: Le grandezze considerate nella relazione saranno quindi:

• p = weight of the projectile in Kg
• p = peso del proietto in Kg
  
• p_p = weight of the dust Kg
• p_p = peso della polvere Kg
  
• V₀ = initial speed of the projectile in m/sec
• V₀ = velocità iniziale del proietto in m/sec
  
• g = 9,81 m/s² (acceleration of gravity)
• g = 9,81 m/s² (accelerazione di gravità )
  
• Rt = thermic coefficient of the dust
• Rt = coefficiente termico della polvere
  
• pc = calorific value of the dust in cal/gr
• pc = potere calorifico della polvere in cal/gr
  
• j = costing of conversion equal to 0,427 (0,4267)
• j = costante di conversione pari a 0,427 (0,4267)
  

The very vivacious dusts have a very low Rt because they disperse a strong quantity of heat in report to that one converted into mechanical energy., the dusts of slow combustion present a quite high Rt to the contrary one. Le polveri molto vivaci hanno un Rt molto basso perchè disperdono una forte quantità di calore in rapporto a quella convertita in energia meccanica. Al contrario, le polveri di lenta combustione presentano un Rt abbastanza alto.

There exist State lotteries of dust in which the thermic and ballistic yields are brought back systematically, they are used above all in the industrial loading to correct, with the dose, several discarding between State lottery and State lottery. Esistono dei lotti di polvere in cui sono riportati sistematicamente i rendimenti termici e balistici, essi vengono usati soprattutto nei caricamenti industriali per correggere, con la dose, i vari scarti fra lotto e lotto.

We remember that such coefficients have value only with components that rationally are used for the cartridge (cases, triggers, balls), not with loading "imagination. Ricordiamo che tali coefficienti hanno valore solo con componenti che razionalmente vengono impiegati per la cartuccia (bossoli, inneschi, palle), non con caricamenti di “fantasia”.

So doing, and using the formulas up to here described, there are obtained such values of maxim to avoid dangerous combinations, tracing out, in first approximation, the behaviour of the propellant in a datum munitioning. Così facendo, ed utilizzando le formule fin qui descritte, si ottengono valori di massima tali da scongiurare combinazioni pericolose, tracciando, in prima approssimazione, il comportamento del propellente in un dato munizionamento.

I use the coefficient of thermic yield (↑) Uso del coefficiente di rendimento termico (↑)

Leaving from the weight of the projectile and from the desired V₀, there will be sufficient to be provided with the datum of thermic yield of the dust, to respect the necessary quantity it. The relation (22) will let obtain an estimate a priori of the doses of propellant or at least, will give us the indicative value of the dose around which to make little following settlements. Partendo dal peso del proietto e dalla V₀ desiderata, sarà sufficiente dotarsi del dato di rendimento termico della polvere, per stimarne il quantitativo necessario. La relazione (22) permetterà di ottenere una stima a priori delle dosi di propellente o quantomeno, ci darà il valore indicativo della dose intorno al quale effettuare piccoli successivi aggiustamenti.

(22) (22)

Wanting to overload with the dust Tecna in cal.12, with 50g of lead, into cases into plastic art of equal finished length to 50mm, with waste wool Gualandi 17/14 the weight of 2,15g, with trigger 615 and using the blows in an automatic one with cane piercing to 18,4mm and cane 81cm, we want to determine the dose of fit dust to throw the projectile (pallini borra) to 400 m/s with shot. Volendo caricare della polvere Tecna nel cal.12, con 50g di piombo, in bossoli in plastica di lunghezza finita pari a 50mm, con borra Gualandi 17/14 dal peso di 2,15g, con innesco 615 ed impiegando i colpi in un automatico con foratura di canna a 18,4mm e canna da 81cm, vogliamo determinare la dose di polvere da sparo idonea a lanciare il proietto (pallini borra) a 400 m/s.

Data of the dust: Dati della polvere:

We will have (22):Avremo dalla (22):

(22) (22)

p_p = (0,050 0,00215) • 400 ² / (2 • 9,81 • 0,49 • 1080 • 0,427) p_p = (0,050 0,00215) • 400² / (2 • 9,81 • 0,49 • 1080 • 0,427)
unwinding the calculations we will have that p_p =1,88 g svolgendo i calcoli avremo che p_p =1,88 g
The section of the cane will have equal surface to S = ∏ •r²=3,14•9,22=265,8mmq La sezione della canna avrà superficie pari a S =∏•r²=3,14•9,22=265,8mmq
Considering the long case 5cm, the run of the projectile will be approximately: lc=81-5=76cm Considerando il bossolo lungo 5cm, il percorso del proietto sarà approssimativamente: lc=81-5=76cm
The maximum pressure of such a loading will be given by (18): La pressione massima di tale caricamento sarà data dalla (18):

(18) (18)

Pmax = 10 • (50 2,15 1,88/2) • 400 ² / (2·265,8·760·0,28) Pmax = 10 • (50 2,15 1,88/2) • 400² / (2•265,8•760•0,28)
unwinding the calculations we will see that Pmax = 751 bars svolgendo i calcoli vedremo che Pmax = 751 bar

According to these calculations a dose of 1,88g of Tecna for 50g of shot, it will determine a pressure of 751 bars in order that the lead makes travelling to the V₀ of 400 m/s. For check, such a munitions have supplied to the bank the next data (in cane with cm. 70 and not 81): V₀ = 397 m/s; Pmax = 758 bars Secondo questi calcoli una dose di 1,88g di Tecna per 50g di pallini, determinerà una pressione di 751 bar per far viaggiare il piombo alla V₀ di 400 m/s. Per riscontro al banco, tale munizione ha fornito i seguenti dati (in canna da cm 70 e non da 81): V₀ = 397 m/s; Pmax = 758 bar
Then the obtained approximation is remarkable. Quindi l’approssimazione ottenuta è notevole.

Smooth cane - example 2 Canna liscia - esempio 2
(it dates in monometric cane noticed from Valerio Monti) (dati in canna monometrica rilevati da Valerio Monti)

We load this time: 36g of middle shot in lead with case in plastic art 12/70, trigger DFS686 Martignoni, container Gualandi 25/21 the weight of 2,59g, dust Tecna in dose 1,80g, stellar closing of the cartridge. Finished munitions closed to 57,8mm. Such a cartridge had given a time of equal cane to 3029µs with a V₀ of 410 m/s and Pmax of 550-570 bars. Will consider the Potential, Rt and Rb of the dust, as for the preceding example. We do the calculations hypothesising the use of an automatic rifle with cane piercing to 18,4mm and cane 81cm. When there were applying (18) and (22) we will have: Carichiamo questa volta: 36g di pallini medi in piombo con bossolo in plastica 12/70, innesco DFS686 Martignoni, contenitore Gualandi 25/21 dal peso di 2,59g, polvere Tecna in dose da 1,80g , chiusura stellare della cartuccia. Munizione finita chiusa a 57,8mm. Tale cartuccia aveva dato un tempo di canna pari a 3029µs con una V₀ di 410 m/s e Pmax di 550-570 bar. Considereremo il Potenziale, Rt ed Rb della polvere, come per l’esempio precedente. Facciamo i calcoli ipotizzando l’uso di un fucile automatico con foratura di canna a 18,4mm e canna da 81cm. Applicando la (18) e la (22) avremo:

Pmax=10 • (36 2,59 9) • 410 ² / (2·265,8·760·0,35) = 565,7 bars Pmax=10 • (36 2,59 9) • 410² / (2•265,8•760•0,35)= 565,7 bar
p_p = (0,036 0,00259) • 410 ² / (2·9,81·0,41·1080·0,427) = 1,75 g p_p=(0,036 0,00259) • 410² / (2•9,81•0,41•1080•0,427) = 1,75 g

little settlements of the dose are owed also to the calorific value difference between State lottery and I fight, if here indication was suitable on the dust manufactures, it might calculate with the perfect approximation the ballistic behaviour of the cartridges. piccoli aggiustamenti della dose sono dovuti anche alla differenza di potere calorifico tra lotto e lotto, se ci fosse opportuna indicazione sulle confezioni di polvere, si potrebbe calcolare con ottima approssimazione il comportamento balistico delle cartucce.

Relations of Heydenreich (↑) Relazioni di Heydenreich (↑)

The ballistic German Heydenreich, based on experiments completed at the beginning of 1900, has elaborated a series of empiric formulas that, with acceptable approximation, allow to carry out the principal calculations of internal ballistics. Such formulas are based on a trend pressorio in cane standardised, obtained at Heydenreich's mediating the results of numerous experimental tests. The Heydenreich method, for the use simplicity, is used often by planners and developers for the study of the typical parametres of the internal ballistics. Il balistico tedesco Heydenreich, sulla base di esperimenti compiuti agli inizi del 1900, ha elaborato una serie di formule empiriche che, con accettabile approssimazione, consentono di eseguire i principali calcoli di balistica interna. Tali formule si basano su un andamento pressorio in canna standardizzato, ottenuto da Heydenreich mediando i risultati di numerosi test sperimentali. Il metodo di Heydenreich, per la semplicità d’uso, è spesso usato da progettisti e sviluppatori per lo studio dei parametri tipici della balistica interna.

The empiric relations studied by Heydenreich are set up about two values tables. The first one puts in relation the ballistic yield with five possible numerical coefficients. The second one considers the report between the hypothesised run of the projectile and the point of maximum pressure, such a value establishes three possible empiric coefficients. We examine with order two tables. Le relazioni empiriche studiate da Heydenreich si impostano su due tabelle di valori. La prima mette in relazione il rendimento balistico con cinque possibili coefficienti numerici. La seconda considera il rapporto tra il percorso ipotizzato del proietto ed il punto di massima pressione, tale valore stabilisce tre possibili coefficienti empirici. Esaminiamo con ordine le due tabelle.

Tabella_1 Heydenreich coefficients (↑) Tabella_1 dei coefficienti di Heydenreich (↑)

As already seen on (13) the ballistic yield (Rb) is given by the report between the maximum pressure (Pmax) and the middle pressure in cane (Pm). Come già visto sulla (13) il rendimento balistico (Rb) è dato dal rapporto tra la pressione massima (Pmax) e la pressione media in canna (Pm).

(13) (13)

Rb for some dusts and for some specific orders of the cartridge, is a coefficient that can be supplied at the producer's. If Rb is not well-known it is possible to calculate it determining the Pm and measuring experimentally the Pmax (test in manometrica). Rb per alcune polveri e per alcuni specifici assetti della cartuccia, è un coefficiente che può essere fornito dal produttore. Se Rb non è noto è possibile calcolarlo determinando la Pm e misurando sperimentalmente la Pmax (test in manometrica).

Like visa at (12) the Pm's it can be calculated by the relation: Come visto dalla (12) la Pm può essere calcolata con la relazione:

(12) (12)

Such a relation supplies the pressure in Kg/cmq, to have the conversion in bar we must multiply for the factor g/10, we will have: Tale relazione fornisce la pressione in Kg/cmq, per avere la conversione in bar dobbiamo moltiplicare per il fattore g/10, avremo:

(23) (23)

Simplifying g and, similarly to all that I endorse on (18), expressing: Semplificando g e, similmente a quanto visto sulla (18), esprimendo:

• p = weight of the projectile in g
• p = peso del proietto in g
  
• p_p = weight of the dust g
• p_p = peso della polvere g
  
• V₀ = initial speed of the projectile in m/sec
• V₀ = velocità iniziale del proietto in m/sec
  
• g = 9,81 m/s² (acceleration of gravity)
• g = 9,81 m/s² (accelerazione di gravità )
  
• S = area of the straight section of the cane in mmq
• S = area della sezione retta della canna in mmq
  
• lc = length of the real run of the projectile in metre
• lc = lunghezza dell’effettivo percorso del proietto in m
  

we will be able to write:potremo scrivere:

(24) (24)

Pm will be so expressed in bar. Pm sarà così espressa in bar.

Then, obtained Rb with the detailed bills of the dust or for calculation and test in cane manometrica, we will compare such a value with the first Heydenreich table: Quindi, ottenuto Rb dalle specifiche della polvere o per calcolo e test in canna manometrica, confronteremo tale valore con la prima tabella di Heydenreich:

There obtained the coefficients to to f correspondents to the value of determinate Rb, we will be able to calculate all the parametres to be followed: Ottenuti i coefficienti da a ad f corrispondenti al valore di Rb determinato, potremo calcolare tutti i parametri a seguire:

(25) (25)

(26) (26)

(27) (27)

(28) (28)

(29) (29)

with:con:

X_Pmax = Space covered by the projectile up to the attainment of the Pmax (mm) t_Pmax = Time used to reach the maximum pressure (ms) (*) X_Pmax = Spazio percorso dal proietto fino al raggiungimento della Pmax (mm) t_Pmax = Tempo impiegato a raggiungere la pressione massima (ms)(*)
V_Pmax = Speed of the projectile to the attainment of the maximum pressure (m/s) V_Pmax = Velocità del proietto al raggiungimento della pressione massima (m/s)
P₀ = residual Pressure to the flight (bar) (**) P₀ = Pressione residua alla volata (bar)(**)
t₀ = Time used by the projectile to reach the flight (ms) (*) t₀= Tempo impiegato dal proietto per raggiungere la volata (ms)(*)

having:avendo:

lc = Run of the projectile up to the flight (mm)lc = Percorso del proietto fino alla volata (mm)
V₀ = Speed of the projectile to the flight (m/s) V₀ = Velocità del proietto alla volata (m/s)

( *) t₀ it is near to the time of cane of the projectile, he differs from this last why, in manometrica, the cane time is defined like the time passed by the contact of the striker on the trigger up to the exit of the projectile to the flight. Two times will differ then for the transitory ones of trigger and lighting do not value you in the calculation of t₀ and also of t_Pmax. (*) t₀ è prossimo al tempo di canna del proietto, esso differisce da quest’ultimo perché, in manometrica, il tempo di canna è definito come il tempo trascorso dal contatto del percussore sull’innesco sino all’uscita del proietto alla volata. I due tempi differiranno quindi per i transitori di innesco ed accensione non valutati nel calcolo di t₀ ed anche di t_Pmax.

(**) The datum of residual pressure to the flight (P₀) can be useful for the definition of the intesità of the secondary riculo. You see the article Fix on the physics of the recoil. (**) Il dato di pressione residua alla volata (P₀) può essere utile per la determinazione dell’intesità del riculo secondario. Vedi l’articolo Appunti sulla fisica del rinculo.

Tabella_2 Heydenreich coefficients (↑) Tabella_2 dei coefficienti di Heydenreich (↑)

The second table consents instead of calculating: pressure, speed and times, in relation to the space covered by the projectile. To do this it is necessary to know the value of D, I refer between the space hypothetically covered by the projectile x and X_Pmax, value obtained by means of the use of the Tabella_1. La seconda tabella consente invece di calcolare: pressione, velocità e tempi, in relazione allo spazio percorso dal proietto. Per far questo è necessario conoscere il valore di D, rapporto tra lo spazio ipoteticamente percorso dal proietto x e X_Pmax, valore ottenuto mediante l’uso della Tabella_1.

(30) (30)

The sought-after values will be able to be calculated easy by means of the use of the first table. The formulas to be applied will be: I valori ricercati potranno essere calcolati agevolmente mediante l’uso della prima tabella. Le formule da applicare saranno:

(31) (31)

(32) (32)

(33) (33)

with:con:

P_x = Pressure after the projectile has covered the space x P_x = Pressione dopo che il proietto ha percorso lo spazio x
V_x = Speed after the projectile has covered the space x V_x = Velocità dopo che il proietto ha percorso lo spazio x
t_x = Time used to cover the space x (*) t_x = Tempo impiegato a percorrere lo spazio x (*)

Then, if they are well-known: the maximum pressure (Pmax) or the ballistic yield (Rb) and the speed to the mouth (V₀) of a cartridge, is possible to calculate the values long the whole run of the projectile within the cane. Quindi, se sono noti: la pressione massima (Pmax) o il rendimento balistico (Rb) e la velocità alla bocca (V₀) di una cartuccia, è possibile calcolare i valori lungo tutto il percorso del proietto entro la canna.

We hypothesise of wanting to calculate the cane time and of sbossolamento (*) of the bullet with pistol in cal.9×21 constituted: ball 122gr (7,90g) LTC, OAL 29,3mm, propellent Vihtavuori N340 in dose 4,8gr (0,31g), Pmax in cane manometrica of 1856bar and one V₀ noticed of 354 m/s, length of the cane 150mm. We hypothesise the bullet sunk into the case for about 7mm. Ipotizziamo di voler calcolare il tempo di canna e di sbossolamento (*) del proiettile da pistola in cal.9×21 costituito da: palla da 122gr (7,90g) LTC, OAL 29,3mm, propellente Vihtavuori N340 in dose da 4,8gr (0,31g), Pmax in canna manometrica di 1856bar ed una V₀ rilevata di 354 m/s, lunghezza della canna 150mm. Ipotizziamo il proiettile affondato nel bossolo per circa 7mm.

We calculate how first element the middle pressure in cane using (24): Calcoliamo come primo elemento la pressione media in canna usando la (24):

(24) (24)

Pm=10•354² • (7,9 0,16) / (2·63,6·136) =583,8 bars Pm=10•354²•(7,9 0,16)/(2•63,6•136)=583,8 bar
Having considered lc=150-21 7=136mm Avendo considerato lc=150-21 7=136mm
and S=63,6mmq ed S=63,6mmq
Then we use the expression of Rb of the relation (13): Quindi usiamo l’espressione di Rb della relazione (13):

(13) (13)

Rb=583,8/1856=0,31 Rb=583,8/1856=0,31
The Tabella_1 of the coefficients of Heydenreich in correspondence of Rb=0,31 we obtain: Dalla Tabella_1 dei coefficienti di Heydenreich in corrispondenza di Rb=0,31 otteniamo:
a=0,0421 _ b=0,178 _ c=0,335 _ d=0,250 _ f=0,770 a=0,0421 _ b=0,178 _ c=0,335 _ d=0,250 _ f=0,770
the estimate of the time t₀ used at the bullet to reach the flight will be given by (30): la stima del tempo t₀ impiegato dal proiettile per raggiungere la volata sarà data dalla (30):

(29) (29)

t₀=2•136•0,770/354=0,592ms (592µs) t₀=2•136•0,770/354=0,592ms (592µs)

the time of real cane, competed in monoprosody, has been t₀=548 µs, the estimate results in a tolerance of 10 % (about 8 % to be demanded). We value the sbossolamento time. Having considered the bullet sunk into the case for about 7mm, we must calculate the time necessary to the bullet to cover such a distance. We will use the Tabella_2 of Heydenreich and the relations (30) and (33): il tempo di canna reale, misurato in monometrica, è stato t₀=548 µs, la stima risulta dentro una tolleranza del 10% (circa l’8% per essere esatti). Valutiamo il tempo di sbossolamento. Avendo considerato il proiettile affondato nel bossolo per circa 7mm, dobbiamo calcolare il tempo necessario al proiettile per percorrere tale distanza. Useremo la Tabella_2 di Heydenreich e le relazioni (30) e (33):

(30) (30)

(33) (33)

x in our case it is 7mm, X_Pamx with (25) will be equal to: x nel nostro caso è 7mm, X_Pamx dalla (25) sarà pari a:

(25) (25)

X_Pmax=136•0,044=5,98mm X_Pmax=136•0,044=5,98mm
D=7/5,98=1,17mm D=7/5,98=1,17mm
At the Tabella_2's we obtain a value of the coefficient or included between 1 and 1,082; we will consider a proportionally intermediate value: o=1,072. Dalla Tabella_2 otteniamo un valore del coefficiente o compreso tra 1 ed 1,082; considereremo un valore proporzionalmente intermedio: o=1,072.
From (26) we know that: Dalla (26) sappiamo che:

(26) (26)

t_Pmax=2•136•0,178/354=0,137ms t_Pmax=2•136•0,178/354=0,137ms
At last the time of sbossolamento (meant like time passed between the beginning of the movement of the bullet and the exit at the case) will be given approximately: t_x=0,137•1,072=0,147ms (147µs) Infine il tempo di sbossolamento (inteso come tempo intercorso tra l’inizio del movimento del proiettile e l’uscita dal bossolo) sarà approssimativamente dato da: t_x=0,137•1,072=0,147ms (147µs)

To follow you will find the graph obtained by the numerical simulation by means of the equations Heydenreich of pressure and speed in cane, as the time:A seguire troverete il grafico ottenuto dalla simulazione numerica mediante le equazioni Heydenreich di pressione e velocità in canna, in funzione del tempo:

Curves simulated for the conditions of the example 5 Curve simulate per le condizioni dell’esempio 5

Smooth cane - example 4 Canna liscia - esempio 4
(it dates in monometric cane noticed from Valerio Monti) (dati in canna monometrica rilevati da Valerio Monti)

We consider again the disposable data on the example 2: 36g of middle shot in lead with case in plastic art 12/70, trigger DFS686 Martignoni, container Gualandi 25/21 at the weight of 2,59g, dust Tecna's in dose 1,80g, stellar closing of the cartridge. Finished munitions closed to 57,8mm. Such a cartridge had given a time of equal cane to 3029µs with a V₀ of 410 m/s and Pmax of 550-570 bars (560 mediates). Consideriamo nuovamente i dati disponibili sull’esempio 2: 36g di pallini medi in piombo con bossolo in plastica 12/70, innesco DFS686 Martignoni, contenitore Gualandi 25/21 dal peso di 2,59g, polvere Tecna in dose da 1,80g , chiusura stellare della cartuccia. Munizione finita chiusa a 57,8mm. Tale cartuccia aveva dato un tempo di canna pari a 3029µs con una V₀ di 410 m/s e Pmax di 550-570 bar (media 560).

We try to calculate the cane time us availing itself of the Heydenreich relations. The middle pressure will be given by (24): Proviamo a calcolare il tempo di canna avvalendoci delle relazioni di Heydenreich. La pressione media sarà data dalla (24):

(24) (24)

then, when 2 were using the data of the example and hypothesising an insertion of the bullet in the case of 35mm: quindi, usando i dati dell’esempio 2 ed ipotizzando un inserimento del proiettile nel bossolo di 35mm:

Pm=10•410² • (38,59 0,9) / (2·265,8·787,2) =158,6 bars Pm=10•410²•(38,59 0,9)/(2•265,8•787,2)=158,6 bar

Rb of the relation (13) will be equal to: Rb della relazione (13) sarà pari a:

(13) (13)

Rb=160,7/560=0,28 Rb=160,7/560=0,28

t₀, next time to the cane time, will be given by (29) with the coefficient f extracted tabella_1; f=0,747: t₀, il tempo prossimo al tempo di canna, sarà dato dalla (29) con il coefficiente f estratto dalla tabella_1; f=0,747 :

(29) (29)

t₀=2•787,2•0,747/410=2,868ms (2868µs) t₀=2•787,2•0,747/410=2,868ms (2868µs)

against a survey in manometrica of 3029µs, then with a difference limited to 6 %. contro un rilevamento in manometrica di 3029µs, quindi con una differenza limitata al 6%.

Final considerations (↑) Considerazioni finali (↑)

Naturally the mathematic relations above shown give a maxim estimate and there cannot take innumerable variables into account which: temperature environment, differences between State lotteries, differing crimpatura or hemming, typology of the cane, typology of the projectile, different loading density, etc. In any case, such relations let include a little part of the physics that is to the base of the internal ballistics and allow to respect beforehand, more or less exactly, the results to be attended at a specific reloading. Naturalmente le relazioni matematiche sopra esposte danno una stima di massima e non possono tener conto di innumerevoli variabili quali: temperatura ambiente, differenze tra lotti, differente crimpatura o orlatura, tipologia della canna, tipologia del proietto, diversa densità di caricamento, etc. In ogni caso, tali relazioni permettono di comprendere una piccola parte della fisica che sta alla base della balistica interna e consentono di stimare a priori, più o meno esattamente, i risultati da attendersi da una specifica ricarica.

At last, to facilitate the use of the mathematic relations above shown, we enclose the next calculation sheet: Heydenreich_Rb_Rt. Eso is subdivided in four sections and automated also for the individualization of the parametres of Heydenreich; it will turn out to be extremely a profit if he is required to us cimetare in some estimate of internal ballistics. Infine, per facilitare l’uso delle relazioni matematiche sopra esposte, alleghiamo il seguente foglio di calcolo: Heydenreich_Rb_Rt. Eso è suddiviso in quattro sezioni ed automatizzato anche per l’individuazione dei parametri di Heydenreich; risulterà estremamente utile qualora ci si voglia cimetare in alcune stime di balistica interna.